{"id": 5100, "text": "二つの多項式 \\( P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x \\) と \\( Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1 \\) があります。\n\\( Q(x) = 0 \\) の解を \\( z_1, z_2, z_3, z_4 \\) とするとき、\n\\( P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4) \\) の値を求めなさい。", "gold": "6", "response": "【解答・解説】\nQ(x)=0 の各根 z に対し、x^4 = x^3 + x^2 + 1 の関係から\nx^5, x^6 を書き戻すと、P(z) = z^2 + 1 - z となる。\nさらにヴィエートの公式より、(z_1 + ... + z_4) = 1, (z_1^2 + ... + z_4^2) = 3。\nよって P(z_1)+...+P(z_4) = 3 + 4 - 1 = 6。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5300, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 10 x^{3} + 16 x + 80 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,-2", "response": "【解答】 -5,-2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -5 と x = -2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5301, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 14 x - 120 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,4", "response": "【解答】 -3,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -3 と x = 4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5302, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 24 x^{3} + 69 x^{2} - 138 x + 90 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "1,5", "response": "【解答】 1,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5303, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 45 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "0,3", "response": "【解答】 0,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 0 と x = 3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5304, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 12 x^{3} + 26 x^{2} + 60 x + 80 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,-2", "response": "【解答】 -4,-2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -2 と x = -4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5305, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + 2 x^{3} + 9 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,0", "response": "【解答】 -3,0\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 0 と x = -3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5306, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 3 x^{3} - 16 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "0,4", "response": "【解答】 0,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = 0 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5307, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 27 x - 162 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,3", "response": "【解答】 -3,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -3 と x = 3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5308, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 12 x^{3} + 21 x^{2} - 24 x + 12 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "1,2", "response": "【解答】 1,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 1 と x = 2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5309, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 20 x^{3} + 70 x^{2} - 148 x + 240 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "4,5", "response": "【解答】 4,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = 4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5310, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 3 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,1", "response": "【解答】 -3,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 1 と x = -3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5311, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 12 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x - 180 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,5", "response": "【解答】 -2,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = -2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5312, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 12 x^{3} + 75 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,0", "response": "【解答】 -5,0\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 0 と x = -5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5313, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 15 x^{3} + 39 x^{2} + 57 x + 30 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,-1", "response": "【解答】 -2,-1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -1 と x = -2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5314, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 9 x^{2} + 24 x - 16 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,1", "response": "【解答】 -4,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5315, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 21 x^{2} - 90 x - 72 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-1,4", "response": "【解答】 -1,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = -1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5316, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + 7 x^{3} + 13 x^{2} + 15 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,0", "response": "【解答】 -5,0\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -5 と x = 0 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5317, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} + 4 x - 16 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,2", "response": "【解答】 -4,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 2 と x = -4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5318, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 2 x^{3} - 23 x^{2} + 50 x - 50 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,5", "response": "【解答】 -5,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -5 と x = 5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5319, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 30 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,0", "response": "【解答】 -5,0\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 0 と x = -5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5320, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 10 x^{3} + 2 x^{2} - 14 x + 20 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "1,5", "response": "【解答】 1,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5321, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 10 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "0,1", "response": "【解答】 0,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 0 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5322, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 30 x - 36 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,1", "response": "【解答】 -2,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -2 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5323, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} - 14 x + 20 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "1,5", "response": "【解答】 1,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5324, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 9 x^{2} + 18 x + 24 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,-1", "response": "【解答】 -2,-1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -2 と x = -1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5325, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 9 x^{3} + 28 x^{2} - 45 x + 25 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "1,5", "response": "【解答】 1,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 1 と x = 5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5326, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 2 x^{3} - 38 x^{2} + 86 x - 120 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,4", "response": "【解答】 -5,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = -5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5327, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x - 36 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,3", "response": "【解答】 -3,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 3 と x = -3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5328, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 16 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-1,4", "response": "【解答】 -1,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = -1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5329, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 60 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,5", "response": "【解答】 -4,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = -4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5330, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 14 x^{3} + 28 x^{2} + 46 x + 30 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,-1", "response": "【解答】 -5,-1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -1 と x = -5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5331, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 14 x^{3} + 42 x^{2} + 66 x + 36 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,-1", "response": "【解答】 -3,-1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -3 と x = -1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5332, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 3 x^{2} + 18 x - 24 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,1", "response": "【解答】 -2,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 1 と x = -2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5333, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 3 x^{3} + 5 x^{2} - 9 x + 6 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "1,2", "response": "【解答】 1,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 2 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5334, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 9 x^{2} + 24 x - 36 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,1", "response": "【解答】 -2,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -2 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5335, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 10 x + 8 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,-1", "response": "【解答】 -4,-1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = -1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5336, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 15 x^{3} + 39 x^{2} + 81 x + 54 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,-1", "response": "【解答】 -3,-1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -1 と x = -3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5337, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 27 x^{3} + 72 x^{2} - 108 x + 240 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "4,5", "response": "【解答】 4,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = 4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5338, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 4 x^{3} - 24 x^{2} + 78 x - 72 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,3", "response": "【解答】 -4,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = 3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5339, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 10 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,1", "response": "【解答】 -2,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -2 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5340, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 32 x^{2} + 50 x - 200 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,4", "response": "【解答】 -5,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = -5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5341, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 8 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "1,2", "response": "【解答】 1,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 1 と x = 2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5342, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 2 x^{3} - 14 x^{2} + 10 x - 120 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,3", "response": "【解答】 -4,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 3 と x = -4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5343, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 18 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,1", "response": "【解答】 -2,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 1 と x = -2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5344, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - x^{2} + 6 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": 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"【解答】 -5,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = -5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5348, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 6 x^{3} - 16 x + 48 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "2,3", "response": "【解答】 2,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 3 と x = 2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5349, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 6 x^{3} + 2 x - 6 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-1,3", "response": "【解答】 -1,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -1 と x = 3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5350, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 9 x^{3} - 24 x^{2} - 66 x - 72 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,3", "response": "【解答】 -4,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - 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を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -2 と x = 3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5363, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x - 36 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,2", "response": "【解答】 -3,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -3 と x = 2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5364, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + x^{3} - 19 x^{2} - 43 x - 60 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,5", "response": "【解答】 -4,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = 5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5365, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} - 16 x - 20 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-1,5", "response": "【解答】 -1,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 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(残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5369, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + 3 x^{3} - 20 x^{2} - 75 x - 125 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,5", "response": "【解答】 -5,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = -5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5370, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 3 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x - 24 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,2", "response": "【解答】 -4,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = 2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5371, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 14 x^{3} + 14 x^{2} - 10 x + 200 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "4,5", "response": "【解答】 4,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = 4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5372, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 9 x^{3} + 3 x^{2} - 39 x + 90 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "2,3", "response": "【解答】 2,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 2 と x = 3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5373, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 50 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,0", "response": "【解答】 -5,0\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 0 と x = -5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5374, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 6 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 20 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,1", "response": "【解答】 -2,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -2 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5375, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 8 x^{2} + 24 x - 32 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,2", "response": "【解答】 -4,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = 2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5376, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 6 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,1", "response": "【解答】 -3,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 1 と x = -3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5377, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} - 30 x + 24 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "1,4", "response": "【解答】 1,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5378, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - 7 x^{3} + 17 x^{2} - 35 x + 60 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "3,4", "response": "【解答】 3,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = 3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5379, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} + 82 x - 120 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,3", "response": "【解答】 -4,3\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 3 と x = -4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5380, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 14 x^{2} + 60 x - 48 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,1", "response": "【解答】 -4,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5381, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 6 x^{3} - 21 x^{2} - 102 x - 90 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-1,5", "response": "【解答】 -1,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = -1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5382, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 8 x^{3} - 26 x^{2} + 112 x - 160 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,5", "response": "【解答】 -4,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = 5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5383, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 51 x^{2} - 102 x - 90 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,5", "response": "【解答】 -3,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = -3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5384, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 3 x^{3} - 12 x - 48 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,2", "response": "【解答】 -2,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 2 と x = -2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5385, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 12 x^{3} + 9 x^{2} + 48 x + 48 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,-1", "response": "【解答】 -4,-1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -1 と x = -4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5386, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 8 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x + 4 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,-1", "response": "【解答】 -2,-1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -1 と x = -2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5387, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - x^{3} - 22 x^{2} + 25 x - 75 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,5", "response": "【解答】 -5,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -5 と x = 5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5388, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} - 17 x - 12 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-1,4", "response": "【解答】 -1,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = -1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5389, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 12 x^{3} - 21 x^{2} - 6 x + 120 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,-2", "response": "【解答】 -5,-2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -2 と x = -5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5390, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 12 x^{2} - 56 x - 96 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,4", "response": "【解答】 -2,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = -2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5391, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x - 36 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,2", "response": "【解答】 -3,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 2 と x = -3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5392, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 18 x^{3} + 30 x^{2} + 9 x - 60 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,1", "response": "【解答】 -4,1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = 1 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5393, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x - 12 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,2", "response": "【解答】 -2,2\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -2 と x = 2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5394, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} + 3 x^{3} - 27 x^{2} + 36 x = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-4,0", "response": "【解答】 -4,0\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -4 と x = 0 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5395, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 3 x^{4} - 21 x^{3} + 24 x^{2} - 42 x + 360 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "4,5", "response": "【解答】 4,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 5 と x = 4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5396, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + 11 x^{3} + 44 x^{2} + 94 x + 120 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-5,-4", "response": "【解答】 -5,-4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -5 と x = -4 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5397, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 20 x^{2} - 30 x - 72 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-3,4", "response": "【解答】 -3,4\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 4 と x = -3 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5398, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} - 20 x^{3} + 68 x^{2} - 102 x + 60 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "2,5", "response": "【解答】 2,5\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = 2 と x = 5 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5399, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ x^{4} + x^{3} + 8 x + 8 = 0 \\]\n解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-2,-1", "response": "【解答】 -2,-1\n【解説】 この4次方程式は (x - r1)(x - r2)(x^2 + p*x + q) に係数 a を掛けた形により作られており、\n 整数解は x = -1 と x = -2 のみとなります (残りの2つの根は実数解を持ちません)。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5400, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 3)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-27,54)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-27, 54).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5401, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -2)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-12,-16)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-12, -16).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5402, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 4)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-48, 128).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5403, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 2)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-12,16)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-12, 16).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5404, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -2)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-12,-16)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-12, -16).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5405, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -2)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-12,-16)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-12, -16).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5406, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -2)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-12,-16)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-12, -16).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5407, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 1)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-3,2)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-3, 2).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5408, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -3)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-27,-54)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-27, -54).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5409, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -1)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-3,-2)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => 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"response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-12, -16).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5441, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -4)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,-128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-48, -128).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5442, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 5)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-75,250)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-75, 250).\n", "type": "Intermediate 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が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-12, -16).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5446, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -4)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,-128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-48, -128).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5447, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -2)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-12,-16)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-12, -16).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5448, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -4)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,-128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-48, -128).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5449, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -5)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-75,-250)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-75, -250).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5450, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -4)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,-128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 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"type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5461, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 4)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-48, 128).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5462, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 1)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-3,2)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-3, 2).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5463, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -1)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-3,-2)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x 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5466, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 4)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-48, 128).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5467, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -1)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-3,-2)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-3, -2).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5468, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 5)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-75,250)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 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\\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,-128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-48, -128).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5495, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 5)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-75,250)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-75, 250).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5496, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 4)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-48, 128).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5497, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - -1)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-3,-2)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-3, -2).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5498, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 4)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-48,128)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-48, 128).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5499, "text": "関数 \\( f(x) = x^3 + b x + c \\) について、\\( (x - 3)^2 \\) が \\( f(x) \\) の因数のとき、\\( (b, c) \\) を求めなさい。", "gold": "(-27,54)", "response": "【解説】\n与えられた条件から (x - r) が重根となるので、\n 1) f(r) = 0\n 2) f'(r) = 0\nが同時に成り立つ。f'(x)=3x^2+b より、3r^2+b=0 => b=-3r^2。\nさらに f(r)=r^3 + b*r + c=0 を使うと c=2r^3。\nよって (b, c) = (-27, 54).\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 5200, "text": "次の方程式の整数解を求めなさい。\n\\[ 2 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = 0 \\]解答はカンマで区切りで表しなさい。", "gold": "-1", "response": "", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 2"} {"id": 6500, "text": "次の値を求めなさい。\n\\[1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + 11 - 12 + 13 - 14 + 15 - 16 + 17 - 18 + 19 - 20 + 21 - 22 + 23 - 24 + 25 - 26 + 27 - 28 + 29 - 30 + 31 - 32 + 33 - 34 + 35 - 36 + 37 - 38 + 39 - 40 + 41 - 42 + 43 - 44 + 45 - 46 + 47 - 48 + 49 - 50 + 51 - 52 + 53 - 54 + 55 - 56 + 57 - 58 + 59 - 60 + 61 - 62 + 63 - 64 + 65 - 66 + 67 - 68 + 69 - 70 + 71 - 72 + 73 - 74 + 75 - 76 + 77 - 78 + 79 - 80 + 81 - 82 + 83 - 84 + 85 - 86 + 87 - 88 + 89 - 90 + 91 - 92 + 93 - 94 + 95 - 96 + 97 - 98 + 99 - 100 + 101 - 102 + 103 - 104 + 105 - 106 + 107 - 108 + 109 - 110 + 111 - 112 + 113 - 114 + 115 - 116 + 117 - 118 + 119 - 120 + 121 - 122 + 123 - 124 + 125 - 126 + 127 - 128 + 129 - 130 + 131 - 132 + 133 - 134 + 135 - 136 + 137 - 138 + 139 - 140 + 141 - 142 + 143 - 144 + 145 - 146 + 147 - 148 + 149 - 150 + 151 - 152 + 153 - 154 + 155 - 156 + 157 - 158 + 159 - 160 + 161 - 162 + 163 - 164 + 165 - 166 + 167 - 168 + 169 - 170 + 171 - 172 + 173 - 174 + 175 - 176 + 177 - 178 + 179 - 180 + 181 - 182 + 183 - 184 + 185 - 186 + 187 - 188 + 189 - 190 + 191 - 192 + 193 - 194 + 195 - 196 + 197 - 198 + 199 - 200 + 201 - 202 + 203 - 204 + 205 - 206 + 207 - 208 + 209 - 210 + 211 - 212 + 213 - 214 + 215 - 216 + 217 - 218 + 219 - 220 + 221 - 222 + 223 - 224 + 225 - 226 + 227 - 228 + 229 - 230 + 231 - 232 + 233 - 234 + 235 - 236 + 237 - 238 + 239 - 240 + 241 - 242 + 243 - 244 + 245 - 246 + 247 - 248 + 249 - 250 + 251 - 252 + 253 - 254 + 255 - 256 + 257 - 258 + 259 - 260 + 261 - 262 + 263 - 264 + 265 - 266 + 267 - 268 + 269 - 270 + 271 - 272 + 273 - 274 + 275 - 276 + 277 - 278 + 279 - 280 + 281 - 282 + 283 - 284 + 285 - 286 + 287 - 288 + 289 - 290 + 291 - 292 + 293 - 294 + 295 - 296 + 297 - 298 + 299 - 300 + 301 - 302 + 303 - 304 + 305 - 306 + 307 - 308 + 309 - 310 + 311 - 312 + 313 - 314 + 315 - 316 + 317 - 318 + 319 - 320 + 321 - 322 + 323 - 324 + 325 - 326 + 327 - 328 + 329 - 330 + 331 - 332 + 333 - 334 + 335 - 336 + 337 - 338 + 339 - 340 + 341 - 342 + 343 - 344 + 345 - 346 + 347 - 348 + 349 - 350 + 351 - 352 + 353 - 354 + 355 - 356 + 357 - 358 + 359 - 360 + 361 - 362 + 363 - 364 + 365 - 366 + 367 - 368 + 369 - 370 + 371 - 372 + 373 - 374 + 375 - 376 + 377 - 378 + 379 - 380 + 381 - 382 + 383 - 384 + 385 - 386 + 387 - 388 + 389 - 390 + 391 - 392 + 393 - 394 + 395 - 396 + 397 - 398 + 399 - 400 + 401 - 402 + 403 - 404 + 405 - 406 + 407 - 408 + 409 - 410 + 411 - 412 + 413 - 414 + 415 - 416 + 417 - 418 + 419 - 420 + 421 - 422 + 423 - 424 + 425 - 426 + 427 - 428 + 429 - 430 + 431 - 432 + 433 - 434 + 435 - 436 + 437 - 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{"id": 6538, "text": "次の値を求めなさい。\n\\[1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + 11 - 12 + 13 - 14 + 15 - 16 + 17 - 18 + 19 - 20 + 21 - 22 + 23 - 24 + 25 - 26 + 27 - 28 + 29 - 30 + 31 - 32 + 33 - 34 + 35 - 36 + 37 - 38 + 39 - 40 + 41 - 42 + 43 - 44 + 45 - 46 + 47 - 48 + 49 - 50 + 51 - 52 + 53 - 54 + 55 - 56 + 57 - 58 + 59 - 60 + 61 - 62 + 63 - 64 + 65 - 66 + 67 - 68 + 69 - 70 + 71 - 72 + 73 - 74 + 75 - 76 + 77 - 78 + 79 - 80 + 81 - 82 + 83 - 84 + 85 - 86 + 87 - 88 + 89 - 90 + 91 - 92 + 93 - 94 + 95 - 96 + 97 - 98 + 99 - 100 + 101 - 102 + 103 - 104 + 105 - 106 + 107 - 108 + 109 - 110 + 111 - 112 + 113 - 114 + 115 - 116 + 117 - 118 + 119 - 120 + 121 - 122 + 123 - 124 + 125 - 126 + 127 - 128 + 129 - 130 + 131 - 132 + 133 - 134 + 135 - 136 + 137 - 138 + 139 - 140 + 141 - 142 + 143 - 144 + 145 - 146 + 147 - 148 + 149 - 150 + 151 - 152 + 153 - 154 + 155 - 156 + 157 - 158 + 159 - 160 + 161 - 162 + 163 - 164 + 165 - 166 + 167 - 168 + 169 - 170 + 171 - 172 + 173 - 174 + 175 - 176 + 177 - 178 + 179 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"text": "次の値を求めなさい。\n\\[1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + 11 - 12 + 13 - 14 + 15 - 16 + 17 - 18 + 19 - 20 + 21 - 22 + 23 - 24 + 25 - 26 + 27 - 28 + 29 - 30 + 31 - 32 + 33 - 34 + 35 - 36 + 37 - 38 + 39 - 40 + 41 - 42 + 43 - 44 + 45 - 46 + 47 - 48 + 49 - 50 + 51 - 52 + 53 - 54 + 55 - 56 + 57 - 58 + 59 - 60 + 61 - 62 + 63 - 64 + 65 - 66 + 67 - 68 + 69 - 70 + 71 - 72 + 73 - 74 + 75 - 76 + 77 - 78 + 79 - 80 + 81 - 82 + 83 - 84 + 85 - 86 + 87 - 88 + 89 - 90 + 91 - 92 + 93 - 94 + 95 - 96 + 97 - 98 + 99 - 100 + 101 - 102 + 103 - 104 + 105 - 106 + 107 - 108 + 109 - 110 + 111 - 112 + 113 - 114 + 115 - 116 + 117 - 118 + 119 - 120 + 121 - 122 + 123 - 124 + 125 - 126 + 127 - 128 + 129 - 130 + 131 - 132 + 133 - 134 + 135 - 136 + 137 - 138 + 139 - 140 + 141 - 142 + 143 - 144 + 145 - 146 + 147 - 148 + 149 - 150 + 151 - 152 + 153 - 154 + 155 - 156 + 157 - 158 + 159 - 160 + 161 - 162 + 163 - 164 + 165 - 166 + 167 - 168 + 169 - 170 + 171 - 172 + 173 - 174 + 175 - 176 + 177 - 178 + 179 - 180 + 181 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(1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -3 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5727, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{3x^2 + 2\\cdot 4 \\cdot x \\sqrt{3} + 4^2} + x\\sqrt{3} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-4", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -4 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5728, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{3x^2 + 2\\cdot 5 \\cdot x \\sqrt{3} + 5^2} + x\\sqrt{3} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-5", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら 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で最小値 -1 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -1 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5735, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{2x^2 + 2\\cdot 3 \\cdot x \\sqrt{2} + 3^2} + x\\sqrt{2} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-3", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -3 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5736, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 2 \\cdot x \\sqrt{4} + 2^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-2", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。\n (2) √a 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(1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -4 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5776, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 5 \\cdot x \\sqrt{4} + 5^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-5", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -5 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5777, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 4 \\cdot x \\sqrt{4} + 4^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-4", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら 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で最小値 -5 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -5 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5784, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{2x^2 + 2\\cdot 4 \\cdot x \\sqrt{2} + 4^2} + x\\sqrt{2} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-4", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -4 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5785, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{2x^2 + 2\\cdot 5 \\cdot x \\sqrt{2} + 5^2} + x\\sqrt{2} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-5", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。\n (2) √a 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-(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -4 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5788, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 2 \\cdot x \\sqrt{4} + 2^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-2", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -2 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5789, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{5x^2 + 2\\cdot 5 \\cdot x \\sqrt{5} + 5^2} + x\\sqrt{5} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-5", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = 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-c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -1 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5792, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{6x^2 + 2\\cdot 2 \\cdot x \\sqrt{6} + 2^2} + x\\sqrt{6} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-2", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -2 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5793, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{5x^2 + 2\\cdot 1 \\cdot x \\sqrt{5} + 1^2} + x\\sqrt{5} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-1", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -1 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5794, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{5x^2 + 2\\cdot 4 \\cdot x \\sqrt{5} + 4^2} + x\\sqrt{5} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-4", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -4 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5795, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 3 \\cdot x \\sqrt{4} + 3^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-3", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -3 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5796, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{5x^2 + 2\\cdot 1 \\cdot x \\sqrt{5} + 1^2} + x\\sqrt{5} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-1", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -1 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5797, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 3 \\cdot x \\sqrt{4} + 3^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-3", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -3 である。", "type": "Intermediate 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"Level 4"} {"id": 5800, "text": "複素数 $z$ が $z^{19} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{18} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "38/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=19 のときは 38/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5801, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5802, "text": "複素数 $z$ が $z^{41} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{40} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "82/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=41 のときは 82/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5803, "text": "複素数 $z$ が $z^{97} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{96} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "194/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=97 のときは 194/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5804, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5805, "text": "複素数 $z$ が $z^{2} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{1} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "4/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=2 のときは 4/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5806, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5807, "text": "複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{78} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "158/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5808, "text": "複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{72} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "146/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5809, "text": "複素数 $z$ が $z^{29} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{28} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "58/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=29 のときは 58/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5810, "text": "複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{6} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "14/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5811, "text": "複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{70} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "142/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5812, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5813, "text": "複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{58} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "118/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5814, "text": "複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{42} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "86/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5815, "text": "複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{42} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "86/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5816, "text": "複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{70} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "142/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5817, "text": "複素数 $z$ が $z^{11} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{10} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "22/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=11 のときは 22/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5818, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5819, "text": "複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{78} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "158/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5820, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5821, "text": "複素数 $z$ が $z^{67} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{66} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "134/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=67 のときは 134/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5822, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5823, "text": "複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{30} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "62/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5824, "text": "複素数 $z$ が $z^{13} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{12} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "26/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=13 のときは 26/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5825, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5826, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5827, "text": "複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{30} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "62/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5828, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5829, "text": "複素数 $z$ が $z^{13} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{12} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "26/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=13 のときは 26/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5830, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5831, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5832, "text": "複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{58} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "118/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5833, "text": "複素数 $z$ が $z^{13} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{12} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "26/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=13 のときは 26/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5834, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5835, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5836, "text": "複素数 $z$ が $z^{83} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{82} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "166/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=83 のときは 166/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5837, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5838, "text": "複素数 $z$ が $z^{19} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{18} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "38/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=19 のときは 38/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5839, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5840, "text": "複素数 $z$ が $z^{11} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{10} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "22/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=11 のときは 22/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5841, "text": "複素数 $z$ が $z^{67} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{66} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "134/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=67 のときは 134/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5842, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5843, "text": "複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{16} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "34/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5844, "text": "複素数 $z$ が $z^{29} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{28} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "58/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=29 のときは 58/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5845, "text": "複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{16} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "34/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5846, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5847, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5848, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5849, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5850, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5851, "text": "複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{30} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "62/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5852, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5853, "text": "複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{70} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "142/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5854, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5855, "text": "複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{46} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "94/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5856, "text": "複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{6} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "14/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5857, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5858, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5859, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5860, "text": "複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{42} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "86/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5861, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5862, "text": "複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{72} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "146/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5863, "text": "複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{78} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "158/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5864, "text": "複素数 $z$ が $z^{83} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{82} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "166/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=83 のときは 166/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5865, "text": "複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{72} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "146/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5866, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5867, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5868, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5869, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5870, "text": "複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{72} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "146/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5871, "text": "複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{46} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "94/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5872, "text": "複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{42} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "86/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5873, "text": "複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{58} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "118/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5874, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5875, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5876, "text": "複素数 $z$ が $z^{83} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{82} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "166/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=83 のときは 166/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5877, "text": "複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{6} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "14/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5878, "text": "複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{78} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "158/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5879, "text": "複素数 $z$ が $z^{97} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{96} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "194/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=97 のときは 194/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5880, "text": "複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{42} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "86/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5881, "text": "複素数 $z$ が $z^{97} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{96} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "194/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=97 のときは 194/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5882, "text": "複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{70} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "142/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5883, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5884, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5885, "text": "複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{16} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "34/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5886, "text": "複素数 $z$ が $z^{67} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{66} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "134/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=67 のときは 134/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5887, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5888, "text": "複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{30} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "62/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5889, "text": "複素数 $z$ が $z^{19} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{18} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "38/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=19 のときは 38/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5890, "text": "複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{46} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "94/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5891, "text": "複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{16} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "34/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5892, "text": "複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{46} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "94/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5893, "text": "複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{78} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "158/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5894, "text": "複素数 $z$ が $z^{41} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{40} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "82/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=41 のときは 82/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5895, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5896, "text": "複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{58} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "118/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5897, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5898, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5899, "text": "複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{6} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "14/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 6300, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6301, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6302, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6303, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6304, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6305, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6306, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6307, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6308, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6309, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - 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\\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6311, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6312, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n 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"text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6315, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = 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"response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6318, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": 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-\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6326, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6327, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - 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\\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6329, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6330, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n 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"text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6333, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6334, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6335, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", 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"text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6351, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6352, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6353, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6354, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6355, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6356, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n 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"response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6372, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": 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"text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6387, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = 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"Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6391, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6392, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6393, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6394, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6395, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) 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-\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6398, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6399, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - 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"次の値を求めなさい。\n\\[1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + 11 - 12 + 13 - 14 + 15 - 16 + 17 - 18 + 19 - 20 + 21 - 22 + 23 - 24 + 25 - 26 + 27 - 28 + 29 - 30 + 31 - 32 + 33 - 34 + 35 - 36 + 37 - 38 + 39 - 40 + 41 - 42 + 43 - 44 + 45 - 46 + 47 - 48 + 49 - 50 + 51 - 52 + 53 - 54 + 55 - 56 + 57 - 58 + 59 - 60 + 61 - 62 + 63 - 64 + 65 - 66 + 67 - 68 + 69 - 70 + 71 - 72 + 73 - 74 + 75 - 76 + 77 - 78 + 79 - 80 + 81 - 82 + 83 - 84 + 85 - 86 + 87 - 88 + 89 - 90 + 91 - 92 + 93 - 94 + 95 - 96 + 97 - 98 + 99 - 100 + 101 - 102 + 103 - 104 + 105 - 106 + 107 - 108 + 109 - 110 + 111 - 112 + 113 - 114 + 115 - 116 + 117 - 118 + 119 - 120 + 121 - 122 + 123 - 124 + 125 - 126 + 127 - 128 + 129 - 130 + 131 - 132 + 133 - 134 + 135 - 136 + 137 - 138 + 139 - 140 + 141 - 142 + 143 - 144 + 145 - 146 + 147 - 148 + 149 - 150 + 151 - 152 + 153 - 154 + 155 - 156 + 157 - 158 + 159 - 160 + 161 - 162 + 163 - 164 + 165 - 166 + 167 - 168 + 169 - 170 + 171 - 172 + 173 - 174 + 175 - 176 + 177 - 178 + 179 - 180 + 181 - 182 + 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"【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -5 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5786, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{6x^2 + 2\\cdot 2 \\cdot x \\sqrt{6} + 2^2} + x\\sqrt{6} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-2", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -2 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5787, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{2x^2 + 2\\cdot 4 \\cdot x \\sqrt{2} + 4^2} + x\\sqrt{2} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-4", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -4 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5788, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 2 \\cdot x \\sqrt{4} + 2^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-2", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -2 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5789, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{5x^2 + 2\\cdot 5 \\cdot x \\sqrt{5} + 5^2} + x\\sqrt{5} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-5", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + 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1| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -1 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5792, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{6x^2 + 2\\cdot 2 \\cdot x \\sqrt{6} + 2^2} + x\\sqrt{6} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-2", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 2| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -2/√a で最小値 -2 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -2 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5793, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{5x^2 + 2\\cdot 1 \\cdot x \\sqrt{5} + 1^2} + x\\sqrt{5} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-1", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -1 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5794, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{5x^2 + 2\\cdot 4 \\cdot x \\sqrt{5} + 4^2} + x\\sqrt{5} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-4", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -4 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5795, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 3 \\cdot x \\sqrt{4} + 3^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-3", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -3 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5796, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{5x^2 + 2\\cdot 1 \\cdot x \\sqrt{5} + 1^2} + x\\sqrt{5} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-1", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 1| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -1/√a で最小値 -1 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -1 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5797, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 3 \\cdot x \\sqrt{4} + 3^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-3", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 3| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -3/√a で最小値 -3 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -3 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5798, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{4x^2 + 2\\cdot 4 \\cdot x \\sqrt{4} + 4^2} + x\\sqrt{4} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-4", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 4| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -4/√a で最小値 -4 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -4 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5799, "text": "関数 \\( f(x) = \\sqrt{3x^2 + 2\\cdot 5 \\cdot x \\sqrt{3} + 5^2} + x\\sqrt{3} \\) の最小値を求めなさい。", "gold": "-5", "response": "【解説】\n与えられた関数は f(x) = √(a x^2 + 2 c x √a + c^2) + x√a = |√a x + 5| + x√a となる。\nこのとき、\n (1) √a x + c ≥ 0 なら f(x) = (√a x + c) + √a x = 2√a x + c,\n これは x の増加関数で、境界 x = -5/√a で最小値 -5 をとる。\n (2) √a x + c < 0 なら f(x) = -(√a x + c) + √a x = -c,\n こちらは一定値 -c。\n従って全体での最小値は -c となる。\nよって答えは -5 である。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 5800, "text": "複素数 $z$ が $z^{19} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{18} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "38/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=19 のときは 38/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5801, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5802, "text": "複素数 $z$ が $z^{41} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{40} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "82/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=41 のときは 82/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5803, "text": "複素数 $z$ が $z^{97} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{96} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "194/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=97 のときは 194/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5804, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5805, "text": "複素数 $z$ が $z^{2} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{1} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "4/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=2 のときは 4/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5806, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5807, "text": "複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{78} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "158/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5808, "text": "複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{72} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "146/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5809, "text": "複素数 $z$ が $z^{29} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{28} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "58/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=29 のときは 58/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5810, "text": "複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{6} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "14/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5811, "text": "複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{70} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "142/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5812, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5813, "text": "複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{58} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "118/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5814, "text": "複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{42} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "86/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5815, "text": "複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{42} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "86/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5816, "text": "複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{70} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "142/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5817, "text": "複素数 $z$ が $z^{11} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{10} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "22/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=11 のときは 22/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5818, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5819, "text": "複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{78} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "158/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5820, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5821, "text": "複素数 $z$ が $z^{67} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{66} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "134/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=67 のときは 134/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5822, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5823, "text": "複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{30} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "62/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5824, "text": "複素数 $z$ が $z^{13} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{12} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "26/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=13 のときは 26/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5825, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5826, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5827, "text": "複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{30} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "62/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5828, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5829, "text": "複素数 $z$ が $z^{13} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{12} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "26/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=13 のときは 26/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5830, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5831, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5832, "text": "複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{58} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "118/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5833, "text": "複素数 $z$ が $z^{13} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{12} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "26/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=13 のときは 26/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5834, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5835, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5836, "text": "複素数 $z$ が $z^{83} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{82} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "166/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=83 のときは 166/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5837, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5838, "text": "複素数 $z$ が $z^{19} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{18} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "38/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=19 のときは 38/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5839, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5840, "text": "複素数 $z$ が $z^{11} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{10} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "22/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=11 のときは 22/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5841, "text": "複素数 $z$ が $z^{67} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{66} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "134/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=67 のときは 134/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5842, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5843, "text": "複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{16} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "34/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5844, "text": "複素数 $z$ が $z^{29} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{28} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "58/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=29 のときは 58/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5845, "text": "複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{16} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "34/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5846, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5847, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5848, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5849, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5850, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5851, "text": "複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{30} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "62/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5852, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5853, "text": "複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{70} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "142/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5854, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5855, "text": "複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{46} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "94/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5856, "text": "複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{6} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "14/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5857, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5858, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5859, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5860, "text": "複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{42} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "86/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=43 のときは 86/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5861, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5862, "text": "複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{72} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "146/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5863, "text": "複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{78} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "158/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5864, "text": "複素数 $z$ が $z^{83} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{82} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "166/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=83 のときは 166/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5865, "text": "複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{72} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "146/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5866, "text": "複素数 $z$ が $z^{89} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{88} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "178/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=89 のときは 178/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5867, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5868, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5869, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5870, "text": "複素数 $z$ が $z^{73} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{72} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "146/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=73 のときは 146/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5871, "text": "複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{46} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "94/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5872, "text": "複素数 $z$ が $z^{43} = 1$、ただし $z 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"複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5876, "text": "複素数 $z$ が $z^{83} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{82} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "166/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=83 のときは 166/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5877, "text": "複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{6} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "14/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 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"Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5881, "text": "複素数 $z$ が $z^{97} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{96} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "194/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=97 のときは 194/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5882, "text": "複素数 $z$ が $z^{71} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{70} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "142/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=71 のときは 142/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5883, "text": "複素数 $z$ が $z^{61} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{60} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "122/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=61 のときは 122/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5884, "text": "複素数 $z$ が $z^{53} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{52} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "106/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=53 のときは 106/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5885, "text": "複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{16} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "34/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5886, "text": "複素数 $z$ が $z^{67} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{66} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "134/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=67 のときは 134/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5887, "text": "複素数 $z$ が $z^{23} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{22} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "46/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=23 のときは 46/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5888, "text": "複素数 $z$ が $z^{31} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{30} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "62/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=31 のときは 62/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5889, "text": "複素数 $z$ が $z^{19} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{18} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "38/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=19 のときは 38/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5890, "text": "複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{46} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "94/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5891, "text": "複素数 $z$ が $z^{17} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{16} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "34/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=17 のときは 34/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5892, "text": "複素数 $z$ が $z^{47} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{46} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "94/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=47 のときは 94/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5893, "text": "複素数 $z$ が $z^{79} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{78} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "158/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=79 のときは 158/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5894, "text": "複素数 $z$ が $z^{41} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{40} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "82/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=41 のときは 82/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5895, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5896, "text": "複素数 $z$ が $z^{59} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{58} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "118/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=59 のときは 118/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5897, "text": "複素数 $z$ が $z^{37} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{36} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "74/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=37 のときは 74/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5898, "text": "複素数 $z$ が $z^{5} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{4} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "10/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=5 のときは 10/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 5899, "text": "複素数 $z$ が $z^{7} = 1$、ただし $z \\neq 1$ を満たすとき、\n\\[\n\\sum_{k = 0}^{6} \\frac{1}{1 + z^k + z^{2k}}\n\\]\nの値を求めなさい。", "gold": "14/3", "response": "【解説】\nn を素数 (n \\neq 3) としたとき、z^n=1, z\\neq 1 の各項を部分分数分解し、\nk -> 3k (mod n) の置換を用いると、\n和は 2n/3 となる（n=7 のときは 14/3 ）。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 5"} {"id": 6300, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6301, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6302, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6303, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6304, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6305, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6306, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6307, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + 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となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6309, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6310, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6311, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6312, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - 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"text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6318, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = 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"text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6336, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = 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"response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6339, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": 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"response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6357, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": 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\\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6360, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6361, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + 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\\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6378, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6379, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + 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となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6381, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6382, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6383, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6384, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - 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\\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6386, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6387, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6388, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6389, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6390, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6391, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6392, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6393, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6394, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6395, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{5} - \\frac{2}{5^2} + \\frac{3}{5^3} - \\frac{4}{5^4} + \\frac{5}{5^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{5}{36}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{5} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{5}{(5+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6396, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6397, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2^2} + \\frac{3}{2^3} - \\frac{4}{2^4} + \\frac{5}{2^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{2}{9}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{2} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{2}{(2+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6398, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{3} - \\frac{2}{3^2} + \\frac{3}{3^3} - \\frac{4}{3^4} + \\frac{5}{3^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{3}{16}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{3} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{3}{(3+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6399, "text": "次の無限級数 \\( S \\) を求めなさい。\n\\[S = \\frac{1}{4} - \\frac{2}{4^2} + \\frac{3}{4^3} - \\frac{4}{4^4} + \\frac{5}{4^5} - \\dotsb \\]\n", "gold": "\\frac{4}{25}", "response": "【解説】\n一般に、\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2} \\) （\\(|x|<1\\)）です。\nここで \\( x = -\\frac{1}{4} \\) とすると、\n級数は\n \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\left(-\\frac{1}{k}\\right)^n \\) となり、\nよって\n \\( S = -\\frac{-\\frac{1}{k}}{(1+\\frac{1}{k})^2} = \\frac{1/k}{(\\frac{k+1}{k})^2} = \\frac{k}{(k+1)^2} \\) となります。\nしたがって、答えは \\( \\frac{4}{(4+1)^2} \\) です。", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6200, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{7} = 64 \\]\n", "gold": "\\frac{64 \\sqrt{21}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{7} = 64 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 49x^2 + y^2 = 448 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{64}{7}} + \\frac{y^2}{448} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{64}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{448}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{448 - \\frac{64}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{64 \\sqrt{21}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6201, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 4x^2 + \\frac{y^2}{10} = 85 \\]\n", "gold": "\\sqrt{3315}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 4x^2 + \\frac{y^2}{10} = 85 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 40x^2 + y^2 = 850 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{85}{4}} + \\frac{y^2}{850} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{85}{4}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{850}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{850 - \\frac{85}{4} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\sqrt{3315} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6202, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{9} = 72 \\]\n", "gold": "6 \\sqrt{71}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{9} = 72 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 72x^2 + y^2 = 648 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{72}{8}} + \\frac{y^2}{648} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{72}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{648}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{648 - \\frac{72}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 6 \\sqrt{71} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6203, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{3} = 75 \\]\n", "gold": "\\frac{10 \\sqrt{78}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{3} = 75 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 27x^2 + y^2 = 225 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{75}{9}} + \\frac{y^2}{225} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{75}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{225}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{225 - \\frac{75}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{10 \\sqrt{78}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6204, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{6} = 133 \\]\n", "gold": "\\frac{\\sqrt{12502}}{2}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{6} = 133 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 48x^2 + y^2 = 798 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{133}{8}} + \\frac{y^2}{798} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{133}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{798}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{798 - \\frac{133}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{\\sqrt{12502}}{2} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6205, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{10} = 104 \\]\n", "gold": "\\frac{28 \\sqrt{130}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{10} = 104 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 50x^2 + y^2 = 1040 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{104}{5}} + \\frac{y^2}{1040} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{104}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1040}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1040 - \\frac{104}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{28 \\sqrt{130}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6206, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 1x^2 + \\frac{y^2}{3} = 61 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{122}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 1x^2 + \\frac{y^2}{3} = 61 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 3x^2 + y^2 = 183 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{61}{1}} + \\frac{y^2}{183} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{61}{1}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{183}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{183 - \\frac{61}{1} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{122} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6207, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{2} = 67 \\]\n", "gold": "\\frac{6 \\sqrt{335}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{2} = 67 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 10x^2 + y^2 = 134 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{67}{5}} + \\frac{y^2}{134} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{67}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{134}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{134 - \\frac{67}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{6 \\sqrt{335}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6208, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{5} = 140 \\]\n", "gold": "\\sqrt{2730}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{5} = 140 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 40x^2 + y^2 = 700 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{140}{8}} + \\frac{y^2}{700} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{140}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{700}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{700 - \\frac{140}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\sqrt{2730} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6209, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{3} = 74 \\]\n", "gold": "\\sqrt{851}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{3} = 74 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 24x^2 + y^2 = 222 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{74}{8}} + \\frac{y^2}{222} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{74}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{222}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{222 - \\frac{74}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\sqrt{851} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6210, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 3x^2 + \\frac{y^2}{2} = 80 \\]\n", "gold": "\\frac{40 \\sqrt{3}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 3x^2 + \\frac{y^2}{2} = 80 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 6x^2 + y^2 = 160 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{80}{3}} + \\frac{y^2}{160} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{80}{3}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{160}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{160 - \\frac{80}{3} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{40 \\sqrt{3}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6211, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{5} = 115 \\]\n", "gold": "\\frac{4 \\sqrt{1265}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{5} = 115 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 45x^2 + y^2 = 575 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{115}{9}} + \\frac{y^2}{575} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{115}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{575}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{575 - \\frac{115}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{4 \\sqrt{1265}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6212, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 3x^2 + \\frac{y^2}{7} = 147 \\]\n", "gold": "28 \\sqrt{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 3x^2 + \\frac{y^2}{7} = 147 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 21x^2 + y^2 = 1029 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{147}{3}} + \\frac{y^2}{1029} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{147}{3}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1029}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1029 - \\frac{147}{3} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 28 \\sqrt{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6213, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{2} = 88 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{165}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{2} = 88 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 16x^2 + y^2 = 176 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{88}{8}} + \\frac{y^2}{176} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{88}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{176}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{176 - \\frac{88}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{165} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6214, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 10x^2 + \\frac{y^2}{5} = 67 \\]\n", "gold": "\\frac{7 \\sqrt{670}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 10x^2 + \\frac{y^2}{5} = 67 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 50x^2 + y^2 = 335 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{67}{10}} + \\frac{y^2}{335} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{67}{10}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{335}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{335 - \\frac{67}{10} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{7 \\sqrt{670}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6215, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 10x^2 + \\frac{y^2}{8} = 149 \\]\n", "gold": "\\frac{\\sqrt{117710}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 10x^2 + \\frac{y^2}{8} = 149 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 80x^2 + y^2 = 1192 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{149}{10}} + \\frac{y^2}{1192} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{149}{10}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1192}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1192 - \\frac{149}{10} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{\\sqrt{117710}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6216, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 10x^2 + \\frac{y^2}{10} = 147 \\]\n", "gold": "\\frac{21 \\sqrt{330}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 10x^2 + \\frac{y^2}{10} = 147 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 100x^2 + y^2 = 1470 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{147}{10}} + \\frac{y^2}{1470} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{147}{10}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1470}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1470 - \\frac{147}{10} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{21 \\sqrt{330}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6217, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 3x^2 + \\frac{y^2}{3} = 76 \\]\n", "gold": "\\frac{8 \\sqrt{114}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 3x^2 + \\frac{y^2}{3} = 76 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 9x^2 + y^2 = 228 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{76}{3}} + \\frac{y^2}{228} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{76}{3}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{228}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{228 - \\frac{76}{3} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{8 \\sqrt{114}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6218, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 10x^2 + \\frac{y^2}{5} = 86 \\]\n", "gold": "\\frac{14 \\sqrt{215}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 10x^2 + \\frac{y^2}{5} = 86 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 50x^2 + y^2 = 430 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{86}{10}} + \\frac{y^2}{430} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{86}{10}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{430}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{430 - \\frac{86}{10} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{14 \\sqrt{215}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6219, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{3} = 107 \\]\n", "gold": "\\frac{\\sqrt{4922}}{2}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{3} = 107 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 24x^2 + y^2 = 321 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{107}{8}} + \\frac{y^2}{321} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{107}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{321}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{321 - \\frac{107}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{\\sqrt{4922}}{2} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6220, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{5} = 138 \\]\n", "gold": "\\frac{4 \\sqrt{8211}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{5} = 138 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 35x^2 + y^2 = 690 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{138}{7}} + \\frac{y^2}{690} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{138}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{690}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{690 - \\frac{138}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{4 \\sqrt{8211}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6221, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{5} = 150 \\]\n", "gold": "24 \\sqrt{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{5} = 150 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 25x^2 + y^2 = 750 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{150}{5}} + \\frac{y^2}{750} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{150}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{750}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{750 - \\frac{150}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 24 \\sqrt{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6222, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{7} = 108 \\]\n", "gold": "\\frac{12 \\sqrt{510}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{7} = 108 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 35x^2 + y^2 = 756 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{108}{5}} + \\frac{y^2}{756} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{108}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{756}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{756 - \\frac{108}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{12 \\sqrt{510}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6223, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{3} = 138 \\]\n", "gold": "\\frac{4 \\sqrt{4830}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{3} = 138 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 21x^2 + y^2 = 414 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{138}{7}} + \\frac{y^2}{414} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{138}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{414}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{414 - \\frac{138}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{4 \\sqrt{4830}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6224, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{6} = 50 \\]\n", "gold": "5 \\sqrt{47}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{6} = 50 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 48x^2 + y^2 = 300 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{50}{8}} + \\frac{y^2}{300} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{50}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{300}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{300 - \\frac{50}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 5 \\sqrt{47} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6225, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 4x^2 + \\frac{y^2}{10} = 84 \\]\n", "gold": "6 \\sqrt{91}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 4x^2 + \\frac{y^2}{10} = 84 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 40x^2 + y^2 = 840 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{84}{4}} + \\frac{y^2}{840} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{84}{4}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{840}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{840 - \\frac{84}{4} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 6 \\sqrt{91} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6226, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 3x^2 + \\frac{y^2}{10} = 87 \\]\n", "gold": "58", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 3x^2 + \\frac{y^2}{10} = 87 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 30x^2 + y^2 = 870 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{87}{3}} + \\frac{y^2}{870} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{87}{3}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{870}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{870 - \\frac{87}{3} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 58 \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6227, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 1x^2 + \\frac{y^2}{5} = 104 \\]\n", "gold": "8 \\sqrt{26}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 1x^2 + \\frac{y^2}{5} = 104 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 5x^2 + y^2 = 520 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{104}{1}} + \\frac{y^2}{520} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{104}{1}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{520}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{520 - \\frac{104}{1} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 8 \\sqrt{26} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6228, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{2} = 75 \\]\n", "gold": "6 \\sqrt{15}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{2} = 75 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 10x^2 + y^2 = 150 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{75}{5}} + \\frac{y^2}{150} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{75}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{150}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{150 - \\frac{75}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 6 \\sqrt{15} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6229, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{4} = 101 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{9595}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{4} = 101 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 20x^2 + y^2 = 404 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{101}{5}} + \\frac{y^2}{404} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{101}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{404}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{404 - \\frac{101}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{9595}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6230, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{3} = 110 \\]\n", "gold": "4 \\sqrt{77}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{3} = 110 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 15x^2 + y^2 = 330 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{110}{5}} + \\frac{y^2}{330} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{110}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{330}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{330 - \\frac{110}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 4 \\sqrt{77} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6231, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{7} = 122 \\]\n", "gold": "\\frac{4 \\sqrt{5185}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{7} = 122 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 35x^2 + y^2 = 854 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{122}{5}} + \\frac{y^2}{854} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{122}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{854}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{854 - \\frac{122}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{4 \\sqrt{5185}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6232, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 4x^2 + \\frac{y^2}{2} = 88 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{154}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 4x^2 + \\frac{y^2}{2} = 88 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 8x^2 + y^2 = 176 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{88}{4}} + \\frac{y^2}{176} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{88}{4}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{176}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{176 - \\frac{88}{4} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{154} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6233, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{5} = 83 \\]\n", "gold": "\\frac{\\sqrt{6474}}{2}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{5} = 83 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 40x^2 + y^2 = 415 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{83}{8}} + \\frac{y^2}{415} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{83}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{415}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{415 - \\frac{83}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{\\sqrt{6474}}{2} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6234, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 1x^2 + \\frac{y^2}{7} = 144 \\]\n", "gold": "24 \\sqrt{6}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 1x^2 + \\frac{y^2}{7} = 144 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 7x^2 + y^2 = 1008 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{144}{1}} + \\frac{y^2}{1008} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{144}{1}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1008}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1008 - \\frac{144}{1} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 24 \\sqrt{6} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6235, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 6x^2 + \\frac{y^2}{2} = 129 \\]\n", "gold": "\\sqrt{946}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 6x^2 + \\frac{y^2}{2} = 129 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 12x^2 + y^2 = 258 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{129}{6}} + \\frac{y^2}{258} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{129}{6}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{258}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{258 - \\frac{129}{6} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\sqrt{946} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6236, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{8} = 102 \\]\n", "gold": "3 \\sqrt{357}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{8} = 102 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 64x^2 + y^2 = 816 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{102}{8}} + \\frac{y^2}{816} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{102}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{816}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{816 - \\frac{102}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 3 \\sqrt{357} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6237, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{6} = 112 \\]\n", "gold": "8 \\sqrt{41}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{6} = 112 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 42x^2 + y^2 = 672 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{112}{7}} + \\frac{y^2}{672} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{112}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{672}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{672 - \\frac{112}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 8 \\sqrt{41} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6238, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 10x^2 + \\frac{y^2}{9} = 98 \\]\n", "gold": "\\frac{14 \\sqrt{445}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 10x^2 + \\frac{y^2}{9} = 98 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 90x^2 + y^2 = 882 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{98}{10}} + \\frac{y^2}{882} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{98}{10}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{882}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{882 - \\frac{98}{10} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{14 \\sqrt{445}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6239, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 3x^2 + \\frac{y^2}{9} = 54 \\]\n", "gold": "12 \\sqrt{13}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 3x^2 + \\frac{y^2}{9} = 54 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 27x^2 + y^2 = 486 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{54}{3}} + \\frac{y^2}{486} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{54}{3}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{486}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{486 - \\frac{54}{3} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 12 \\sqrt{13} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6240, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{7} = 125 \\]\n", "gold": "\\frac{40 \\sqrt{105}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{7} = 125 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 49x^2 + y^2 = 875 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{125}{7}} + \\frac{y^2}{875} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{125}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{875}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{875 - \\frac{125}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{40 \\sqrt{105}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6241, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 6x^2 + \\frac{y^2}{7} = 117 \\]\n", "gold": "\\sqrt{3198}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 6x^2 + \\frac{y^2}{7} = 117 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 42x^2 + y^2 = 819 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{117}{6}} + \\frac{y^2}{819} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{117}{6}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{819}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{819 - \\frac{117}{6} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\sqrt{3198} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6242, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{7} = 123 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{7626}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{7} = 123 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 63x^2 + y^2 = 861 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{123}{9}} + \\frac{y^2}{861} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{123}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{861}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{861 - \\frac{123}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{7626}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6243, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 2x^2 + \\frac{y^2}{2} = 150 \\]\n", "gold": "30", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 2x^2 + \\frac{y^2}{2} = 150 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 4x^2 + y^2 = 300 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{150}{2}} + \\frac{y^2}{300} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{150}{2}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{300}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{300 - \\frac{150}{2} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 30 \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6244, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{10} = 85 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{41055}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{10} = 85 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 70x^2 + y^2 = 850 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{85}{7}} + \\frac{y^2}{850} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{85}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{850}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{850 - \\frac{85}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{41055}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6245, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 4x^2 + \\frac{y^2}{4} = 66 \\]\n", "gold": "3 \\sqrt{110}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 4x^2 + \\frac{y^2}{4} = 66 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 16x^2 + y^2 = 264 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{66}{4}} + \\frac{y^2}{264} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{66}{4}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{264}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{264 - \\frac{66}{4} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 3 \\sqrt{110} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6246, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{3} = 69 \\]\n", "gold": "\\frac{23 \\sqrt{6}}{2}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{3} = 69 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 24x^2 + y^2 = 207 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{69}{8}} + \\frac{y^2}{207} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{69}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{207}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{207 - \\frac{69}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{23 \\sqrt{6}}{2} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6247, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 1x^2 + \\frac{y^2}{4} = 120 \\]\n", "gold": "12 \\sqrt{10}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 1x^2 + \\frac{y^2}{4} = 120 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 4x^2 + y^2 = 480 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{120}{1}} + \\frac{y^2}{480} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{120}{1}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{480}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{480 - \\frac{120}{1} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 12 \\sqrt{10} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6248, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 1x^2 + \\frac{y^2}{9} = 125 \\]\n", "gold": "20 \\sqrt{10}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 1x^2 + \\frac{y^2}{9} = 125 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 9x^2 + y^2 = 1125 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{125}{1}} + \\frac{y^2}{1125} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{125}{1}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1125}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1125 - \\frac{125}{1} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 20 \\sqrt{10} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6249, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 6x^2 + \\frac{y^2}{2} = 131 \\]\n", "gold": "\\frac{\\sqrt{8646}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 6x^2 + \\frac{y^2}{2} = 131 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 12x^2 + y^2 = 262 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{131}{6}} + \\frac{y^2}{262} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{131}{6}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{262}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{262 - \\frac{131}{6} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{\\sqrt{8646}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6250, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{9} = 90 \\]\n", "gold": "\\frac{12 \\sqrt{1085}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{9} = 90 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 63x^2 + y^2 = 810 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{90}{7}} + \\frac{y^2}{810} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{90}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{810}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{810 - \\frac{90}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{12 \\sqrt{1085}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6251, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 2x^2 + \\frac{y^2}{3} = 116 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{290}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 2x^2 + \\frac{y^2}{3} = 116 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 6x^2 + y^2 = 348 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{116}{2}} + \\frac{y^2}{348} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{116}{2}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{348}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{348 - \\frac{116}{2} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{290} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6252, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 1x^2 + \\frac{y^2}{10} = 54 \\]\n", "gold": "18 \\sqrt{6}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 1x^2 + \\frac{y^2}{10} = 54 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 10x^2 + y^2 = 540 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{54}{1}} + \\frac{y^2}{540} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{54}{1}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{540}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{540 - \\frac{54}{1} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 18 \\sqrt{6} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6253, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 3x^2 + \\frac{y^2}{2} = 68 \\]\n", "gold": "\\frac{4 \\sqrt{255}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 3x^2 + \\frac{y^2}{2} = 68 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 6x^2 + y^2 = 136 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{68}{3}} + \\frac{y^2}{136} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{68}{3}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{136}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{136 - \\frac{68}{3} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{4 \\sqrt{255}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6254, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 10x^2 + \\frac{y^2}{5} = 102 \\]\n", "gold": "\\frac{14 \\sqrt{255}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 10x^2 + \\frac{y^2}{5} = 102 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 50x^2 + y^2 = 510 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{102}{10}} + \\frac{y^2}{510} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{102}{10}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{510}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{510 - \\frac{102}{10} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{14 \\sqrt{255}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6255, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{10} = 118 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{56994}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{10} = 118 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 70x^2 + y^2 = 1180 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{118}{7}} + \\frac{y^2}{1180} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{118}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1180}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1180 - \\frac{118}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{56994}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6256, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 2x^2 + \\frac{y^2}{10} = 100 \\]\n", "gold": "10 \\sqrt{38}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 2x^2 + \\frac{y^2}{10} = 100 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 20x^2 + y^2 = 1000 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{100}{2}} + \\frac{y^2}{1000} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{100}{2}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1000}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1000 - \\frac{100}{2} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 10 \\sqrt{38} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6257, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{2} = 142 \\]\n", "gold": "\\sqrt{1065}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{2} = 142 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 16x^2 + y^2 = 284 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{142}{8}} + \\frac{y^2}{284} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{142}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{284}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{284 - \\frac{142}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\sqrt{1065} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6258, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{2} = 109 \\]\n", "gold": "\\frac{6 \\sqrt{545}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{2} = 109 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 10x^2 + y^2 = 218 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{109}{5}} + \\frac{y^2}{218} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{109}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{218}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{218 - \\frac{109}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{6 \\sqrt{545}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6259, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 6x^2 + \\frac{y^2}{3} = 55 \\]\n", "gold": "\\frac{\\sqrt{5610}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 6x^2 + \\frac{y^2}{3} = 55 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 18x^2 + y^2 = 165 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{55}{6}} + \\frac{y^2}{165} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{55}{6}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{165}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{165 - \\frac{55}{6} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{\\sqrt{5610}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6260, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{6} = 51 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{14637}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{6} = 51 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 42x^2 + y^2 = 306 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{51}{7}} + \\frac{y^2}{306} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{51}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{306}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{306 - \\frac{51}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{14637}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6261, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 6x^2 + \\frac{y^2}{3} = 94 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{2397}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 6x^2 + \\frac{y^2}{3} = 94 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 18x^2 + y^2 = 282 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{94}{6}} + \\frac{y^2}{282} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{94}{6}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{282}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{282 - \\frac{94}{6} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{2397}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6262, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 1x^2 + \\frac{y^2}{9} = 61 \\]\n", "gold": "4 \\sqrt{122}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 1x^2 + \\frac{y^2}{9} = 61 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 9x^2 + y^2 = 549 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{61}{1}} + \\frac{y^2}{549} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{61}{1}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{549}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{549 - \\frac{61}{1} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 4 \\sqrt{122} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6263, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{4} = 61 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{2135}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{4} = 61 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 36x^2 + y^2 = 244 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{61}{9}} + \\frac{y^2}{244} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{61}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{244}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{244 - \\frac{61}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{2135}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6264, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{7} = 63 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{434}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{7} = 63 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 63x^2 + y^2 = 441 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{63}{9}} + \\frac{y^2}{441} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{63}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{441}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{441 - \\frac{63}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{434} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6265, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{8} = 130 \\]\n", "gold": "\\frac{10 \\sqrt{2002}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{8} = 130 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 56x^2 + y^2 = 1040 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{130}{7}} + \\frac{y^2}{1040} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{130}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1040}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1040 - \\frac{130}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{10 \\sqrt{2002}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6266, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 1x^2 + \\frac{y^2}{5} = 121 \\]\n", "gold": "44", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 1x^2 + \\frac{y^2}{5} = 121 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 5x^2 + y^2 = 605 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{121}{1}} + \\frac{y^2}{605} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{121}{1}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{605}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{605 - \\frac{121}{1} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 44 \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6267, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 6x^2 + \\frac{y^2}{5} = 62 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{2697}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 6x^2 + \\frac{y^2}{5} = 62 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 30x^2 + y^2 = 310 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{62}{6}} + \\frac{y^2}{310} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{62}{6}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{310}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{310 - \\frac{62}{6} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{2697}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6268, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 6x^2 + \\frac{y^2}{10} = 111 \\]\n", "gold": "\\sqrt{4366}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 6x^2 + \\frac{y^2}{10} = 111 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 60x^2 + y^2 = 1110 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{111}{6}} + \\frac{y^2}{1110} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{111}{6}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1110}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1110 - \\frac{111}{6} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\sqrt{4366} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6269, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 2x^2 + \\frac{y^2}{7} = 102 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{663}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 2x^2 + \\frac{y^2}{7} = 102 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 14x^2 + y^2 = 714 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{102}{2}} + \\frac{y^2}{714} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{102}{2}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{714}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{714 - \\frac{102}{2} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{663} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6270, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 3x^2 + \\frac{y^2}{2} = 132 \\]\n", "gold": "4 \\sqrt{55}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 3x^2 + \\frac{y^2}{2} = 132 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 6x^2 + y^2 = 264 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{132}{3}} + \\frac{y^2}{264} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{132}{3}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{264}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{264 - \\frac{132}{3} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 4 \\sqrt{55} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6271, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{6} = 57 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{3021}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{6} = 57 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 54x^2 + y^2 = 342 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{57}{9}} + \\frac{y^2}{342} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{57}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{342}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{342 - \\frac{57}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{3021}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6272, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{6} = 58 \\]\n", "gold": "\\sqrt{1363}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{6} = 58 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 48x^2 + y^2 = 348 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{58}{8}} + \\frac{y^2}{348} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{58}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{348}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{348 - \\frac{58}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\sqrt{1363} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6273, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 6x^2 + \\frac{y^2}{7} = 65 \\]\n", "gold": "\\frac{\\sqrt{15990}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 6x^2 + \\frac{y^2}{7} = 65 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 42x^2 + y^2 = 455 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{65}{6}} + \\frac{y^2}{455} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{65}{6}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{455}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{455 - \\frac{65}{6} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{\\sqrt{15990}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6274, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 3x^2 + \\frac{y^2}{9} = 90 \\]\n", "gold": "4 \\sqrt{195}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 3x^2 + \\frac{y^2}{9} = 90 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 27x^2 + y^2 = 810 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{90}{3}} + \\frac{y^2}{810} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{90}{3}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{810}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{810 - \\frac{90}{3} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 4 \\sqrt{195} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6275, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{5} = 75 \\]\n", "gold": "\\frac{20 \\sqrt{33}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{5} = 75 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 45x^2 + y^2 = 375 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{75}{9}} + \\frac{y^2}{375} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{75}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{375}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{375 - \\frac{75}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{20 \\sqrt{33}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6276, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{3} = 101 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{7070}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{3} = 101 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 15x^2 + y^2 = 303 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{101}{5}} + \\frac{y^2}{303} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{101}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{303}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{303 - \\frac{101}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{7070}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6277, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 1x^2 + \\frac{y^2}{10} = 115 \\]\n", "gold": "6 \\sqrt{115}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 1x^2 + \\frac{y^2}{10} = 115 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 10x^2 + y^2 = 1150 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{115}{1}} + \\frac{y^2}{1150} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{115}{1}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1150}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1150 - \\frac{115}{1} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 6 \\sqrt{115} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6278, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 6x^2 + \\frac{y^2}{2} = 122 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{2013}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 6x^2 + \\frac{y^2}{2} = 122 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 12x^2 + y^2 = 244 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{122}{6}} + \\frac{y^2}{244} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{122}{6}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{244}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{244 - \\frac{122}{6} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{2013}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6279, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{8} = 103 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{20085}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{8} = 103 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 40x^2 + y^2 = 824 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{103}{5}} + \\frac{y^2}{824} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{103}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{824}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{824 - \\frac{103}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{20085}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6280, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 5x^2 + \\frac{y^2}{6} = 104 \\]\n", "gold": "\\frac{4 \\sqrt{3770}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 5x^2 + \\frac{y^2}{6} = 104 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 30x^2 + y^2 = 624 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{104}{5}} + \\frac{y^2}{624} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{104}{5}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{624}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{624 - \\frac{104}{5} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{4 \\sqrt{3770}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6281, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 3x^2 + \\frac{y^2}{5} = 114 \\]\n", "gold": "4 \\sqrt{133}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 3x^2 + \\frac{y^2}{5} = 114 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 15x^2 + y^2 = 570 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{114}{3}} + \\frac{y^2}{570} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{114}{3}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{570}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{570 - \\frac{114}{3} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 4 \\sqrt{133} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6282, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 2x^2 + \\frac{y^2}{6} = 94 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{517}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 2x^2 + \\frac{y^2}{6} = 94 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 12x^2 + y^2 = 564 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{94}{2}} + \\frac{y^2}{564} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{94}{2}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{564}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{564 - \\frac{94}{2} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{517} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6283, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{4} = 119 \\]\n", "gold": "\\frac{\\sqrt{7378}}{2}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{4} = 119 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 32x^2 + y^2 = 476 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{119}{8}} + \\frac{y^2}{476} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{119}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{476}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{476 - \\frac{119}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{\\sqrt{7378}}{2} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6284, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{6} = 108 \\]\n", "gold": "4 \\sqrt{159}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{6} = 108 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 54x^2 + y^2 = 648 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{108}{9}} + \\frac{y^2}{648} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{108}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{648}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{648 - \\frac{108}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 4 \\sqrt{159} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6285, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{3} = 109 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{2834}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{3} = 109 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 27x^2 + y^2 = 327 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{109}{9}} + \\frac{y^2}{327} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{109}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{327}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{327 - \\frac{109}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{2834}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6286, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 10x^2 + \\frac{y^2}{10} = 114 \\]\n", "gold": "\\frac{6 \\sqrt{3135}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 10x^2 + \\frac{y^2}{10} = 114 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 100x^2 + y^2 = 1140 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{114}{10}} + \\frac{y^2}{1140} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{114}{10}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1140}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1140 - \\frac{114}{10} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{6 \\sqrt{3135}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6287, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{5} = 132 \\]\n", "gold": "3 \\sqrt{286}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{5} = 132 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 40x^2 + y^2 = 660 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{132}{8}} + \\frac{y^2}{660} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{132}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{660}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{660 - \\frac{132}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 3 \\sqrt{286} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6288, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{5} = 98 \\]\n", "gold": "4 \\sqrt{119}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{5} = 98 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 35x^2 + y^2 = 490 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{98}{7}} + \\frac{y^2}{490} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{98}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{490}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{490 - \\frac{98}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 4 \\sqrt{119} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6289, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 7x^2 + \\frac{y^2}{6} = 101 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{28987}}{7}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 7x^2 + \\frac{y^2}{6} = 101 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 42x^2 + y^2 = 606 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{101}{7}} + \\frac{y^2}{606} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{101}{7}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{606}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{606 - \\frac{101}{7} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{28987}}{7} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6290, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 2x^2 + \\frac{y^2}{7} = 132 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{858}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 2x^2 + \\frac{y^2}{7} = 132 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 14x^2 + y^2 = 924 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{132}{2}} + \\frac{y^2}{924} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{132}{2}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{924}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{924 - \\frac{132}{2} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{858} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6291, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 4x^2 + \\frac{y^2}{8} = 99 \\]\n", "gold": "3 \\sqrt{341}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 4x^2 + \\frac{y^2}{8} = 99 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 32x^2 + y^2 = 792 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{99}{4}} + \\frac{y^2}{792} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{99}{4}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{792}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{792 - \\frac{99}{4} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 3 \\sqrt{341} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6292, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 4x^2 + \\frac{y^2}{10} = 93 \\]\n", "gold": "3 \\sqrt{403}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 4x^2 + \\frac{y^2}{10} = 93 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 40x^2 + y^2 = 930 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{93}{4}} + \\frac{y^2}{930} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{93}{4}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{930}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{930 - \\frac{93}{4} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 3 \\sqrt{403} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6293, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 8x^2 + \\frac{y^2}{4} = 120 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{465}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 8x^2 + \\frac{y^2}{4} = 120 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 32x^2 + y^2 = 480 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{120}{8}} + \\frac{y^2}{480} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{120}{8}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{480}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{480 - \\frac{120}{8} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{465} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6294, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 10x^2 + \\frac{y^2}{2} = 53 \\]\n", "gold": "\\frac{\\sqrt{10070}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 10x^2 + \\frac{y^2}{2} = 53 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 20x^2 + y^2 = 106 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{53}{10}} + \\frac{y^2}{106} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{53}{10}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{106}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{106 - \\frac{53}{10} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{\\sqrt{10070}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6295, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 10x^2 + \\frac{y^2}{5} = 139 \\]\n", "gold": "\\frac{7 \\sqrt{1390}}{5}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 10x^2 + \\frac{y^2}{5} = 139 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 50x^2 + y^2 = 695 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{139}{10}} + \\frac{y^2}{695} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{139}{10}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{695}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{695 - \\frac{139}{10} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{7 \\sqrt{1390}}{5} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6296, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 2x^2 + \\frac{y^2}{10} = 141 \\]\n", "gold": "\\sqrt{5358}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 2x^2 + \\frac{y^2}{10} = 141 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 20x^2 + y^2 = 1410 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{141}{2}} + \\frac{y^2}{1410} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{141}{2}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{1410}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{1410 - \\frac{141}{2} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\sqrt{5358} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6297, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 2x^2 + \\frac{y^2}{3} = 136 \\]\n", "gold": "4 \\sqrt{85}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 2x^2 + \\frac{y^2}{3} = 136 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 6x^2 + y^2 = 408 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{136}{2}} + \\frac{y^2}{408} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{136}{2}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{408}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{408 - \\frac{136}{2} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 4 \\sqrt{85} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6298, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 2x^2 + \\frac{y^2}{9} = 82 \\]\n", "gold": "2 \\sqrt{697}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 2x^2 + \\frac{y^2}{9} = 82 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 18x^2 + y^2 = 738 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{82}{2}} + \\frac{y^2}{738} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{82}{2}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{738}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{738 - \\frac{82}{2} }\\) となり、\n簡単化すると \\( 2 \\sqrt{697} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"} {"id": 6299, "text": "次の楕円の焦点間の距離を求めなさい。\n\\[ 9x^2 + \\frac{y^2}{3} = 89 \\]\n", "gold": "\\frac{2 \\sqrt{2314}}{3}", "response": "【解説】\n与えられた楕円は\n\\( 9x^2 + \\frac{y^2}{3} = 89 \\) と表される。\n両辺に分母の \\(Q\\) をかけると\n\\( 27x^2 + y^2 = 267 \\) となり、\n標準形は\n \\( \\frac{x^2}{\\frac{89}{9}} + \\frac{y^2}{267} = 1 \\) となる。\nこのとき、横軸の長さの半分は \\(a = \\sqrt{{\\frac{89}{9}}} \\)、\n縦軸の長さの半分は \\(b = \\sqrt{{267}} \\) で、\n（ここでは \\(b > a\\) なので楕円は縦長）\n焦点は \\( (0, \\pm c) \\) （または \\( (\\pm c, 0) \\)）で、\n \\( c = \\sqrt{b^2 - a^2} \\) となる。\nよって焦点間の距離は \\(2c = 2\\sqrt{267 - \\frac{89}{9} }\\) となり、\n簡単化すると \\( \\frac{2 \\sqrt{2314}}{3} \\) となる。\n", "type": "Intermediate Algebra", "level": "Level 4"}